Question

如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．
（1）求证：DM=r；
（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；
（3）设y=CD²+3CM²，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，由CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，证明四边形ODCE是矩形，
（2）设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD，根据角的关系得到PC⊥OC于点C，
（3）过C作CH⊥DE于点H，在Rt△OCD和Rt△CDH中解得CD、DH、CH，进而写出y关于r的函数关系式．
解答：（1）证明：连接OC，
∵点C是上异于A、B的点，又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE=OC．
∵OC=OA=r，
∴DE=r．
又∵DM=2EM，
∴DM=DE=r；

（2）证明：设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD，
∴∠CDE=∠DCO，
又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，
∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C，
又∵OC为扇形OAB的半径，
∴PC是扇形OAB所在圆的切线；

（3）解：过C作CH⊥DE于点H
∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，
∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，得
CD=OC=r，DH=CD=r，CH=r．
又MH=DM-DH=r-r=r，
∴在Rt△CMH中，得CM²=MH²+CH²=，
则y=CD²+3CM²，
=+3×r²
=r²．
点评：本题考查了切线的判定，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．