Question

如图，△ABP中，∠APB=120°，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①CD²=AC•DB；②AP²=AC•AB；③AP•PC=PD•PB；④BP²-BD²=AD•DB，其中正确的个数是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：由△ABP中，∠APB=120°，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，易证得△APC∽△PBD∽△ABP，然后由相似三角形的对应边成比例，可证得：①CD²=AC•DB；②AP²=AC•AB正确，③AP•PC=PD•PB错误，可得BP²-BD²=AB•BD-BD²=BD•（AB-BD）=AD•DB，即④正确．
解答：∵△PCD是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60°，PC=PD=CD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，∠A+∠APC=∠PCD=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=180°-∠APB=60°，
∴∠APC=∠B，
∴△APC∽△PBD，
∴，
∴PC•PD=AC•DB，
∴CD²=AC•DB；
故①正确；
∵∠APC=∠B，∠A是公共角，
∴△APC∽△ABP，
∴，
∴AP²=AC•AB；
故②正确；
∵△APC∽△PBD，
∴AP：PB=PC：BD，
∴AP•BD=PC•PB，
∵PC=PD=CD，
∴AP•BD=PD•PB，
故③错误；
∵△APC∽△PBD，△APC∽△ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴BP：AB=BD：BP，
∴BP²=AB•BD，
∴BP²-BD²=AB•BD-BD²=BD•（AB-BD）=AD•DB；
故④正确．
故选B．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．