题目内容
如图，⊙O的半径均为R．（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=
R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
【答案】分析：（1）使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；可让弦AB=CD且AB与CD不平行（相交时交点不为圆心）．使图②仍为中心对称图形；可让AB=CD且AB∥CD，也可让AB，CD作为两条圆内不重合的直径．
（2）可以以CD或AB为底来求两三角形的面积和，先作高，然后用AE，BE（CE，DE也可以）和sinα表示出这两个三角形的高，然后根据三角形的面积公式可得出
CD×（AE+BE）•sinα，AE+BE正好是AB的长，因此两三角形的面积和就能求出来了．
（3）要分两种情况进行讨论：
当两弦相交时，情况与（2）相同，可用（2）的结果来得出四边形的面积（此时四边形的面积正好是两个三角形的面积和）．
当两弦不相交时，我们可连接圆心和四边形的四个顶点，将四边形分成4个三角形来求解，由于AB=CD=
R，那么我们可得出三角形OAB和OCD应该是个等腰直角三角形，那么他们的面积和就应该是R2，下面再求出三角形AOD和BOC的面积和，我们由于∠AOD+∠BOC=180°，我们可根据这个特殊条件来构建全等三角形求解．延长BO交圆于E，那么三角形AOD就应该和三角形CEO全等，那么求出三角形BCE的面积就求出了三角形AOD和BOC的面积和，那么要想使四边形的面积最大，三角形BEC中高就必须最大，也就是半径的长，此时三角形BEC的面积就是R2，三角形BEC是个等腰直角三角形，那么四边形ABCD就是个正方形，因此四边形ABCD的最大面积就是2R2．因此当∠AOD=∠BOC=90°时，四边形ABCD的面积就最大，最大为2R2．
解答：解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD=
CD•AM=
CD•AE•sinα，S△BCD=
CD•BN=
CD•BE•sinα，
∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=
CD•AE•sinα+
CD•BE•sinα
=
CD•（AE+BE）sinα=
CD•AB•sinα=
m2•sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=
知S四边形ACBD=
AB•CD•sinα=R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB=CD=
，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE=
BE•CH=R•CH．
∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为
的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值．
点评：本题主要考查了圆内轴对称和中心对称图形的区别以及解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点．在求三角形的面积时，要根据已知的条件来选择底边，这样可使解题更加简便．
（2）可以以CD或AB为底来求两三角形的面积和，先作高，然后用AE，BE（CE，DE也可以）和sinα表示出这两个三角形的高，然后根据三角形的面积公式可得出
CD×（AE+BE）•sinα，AE+BE正好是AB的长，因此两三角形的面积和就能求出来了．（3）要分两种情况进行讨论：
当两弦相交时，情况与（2）相同，可用（2）的结果来得出四边形的面积（此时四边形的面积正好是两个三角形的面积和）．
当两弦不相交时，我们可连接圆心和四边形的四个顶点，将四边形分成4个三角形来求解，由于AB=CD=
R，那么我们可得出三角形OAB和OCD应该是个等腰直角三角形，那么他们的面积和就应该是R2，下面再求出三角形AOD和BOC的面积和，我们由于∠AOD+∠BOC=180°，我们可根据这个特殊条件来构建全等三角形求解．延长BO交圆于E，那么三角形AOD就应该和三角形CEO全等，那么求出三角形BCE的面积就求出了三角形AOD和BOC的面积和，那么要想使四边形的面积最大，三角形BEC中高就必须最大，也就是半径的长，此时三角形BEC的面积就是R2，三角形BEC是个等腰直角三角形，那么四边形ABCD就是个正方形，因此四边形ABCD的最大面积就是2R2．因此当∠AOD=∠BOC=90°时，四边形ABCD的面积就最大，最大为2R2．解答：解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD=
CD•AM=
CD•AE•sinα，S△BCD=
CD•BN=
CD•BE•sinα，∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=
CD•AE•sinα+
CD•BE•sinα=
CD•（AE+BE）sinα=
CD•AB•sinα=
m2•sinα．（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=
知S四边形ACBD=
AB•CD•sinα=R2sinα，②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB=CD=
，OC=OD=OA=OB=R，∴∠AOB=∠COD=90°．
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE=
BE•CH=R•CH．∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为
的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值．点评：本题主要考查了圆内轴对称和中心对称图形的区别以及解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点．在求三角形的面积时，要根据已知的条件来选择底边，这样可使解题更加简便．
练习册系列答案
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