题目内容
如图七，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，点M、N分别为线段AC和
射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
证明：(1) 过点N作NH⊥x轴于点H，…………………1分
设AN=5k，得：AH=3k，CM=2k
① 当点M在CO上时，点N在线段AB上时：
∴OH=6-3k，OM=4-2k， ∴MH=10-5k，
∵PO∥NH，∴
………………2分
② 当点M在OA上时，点N在线段AB的延长线上时：
∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，
∵PO∥NH∴，
………………2分
解：(2) 当△BNP与△MNA相似时：
① 当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
∴△BNP∽△MNA△∽BOA，
，
，
，
……2分
② 当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，∴∠PBA=∠PMO，
∵
∴
，矛盾∴不成立. ………………………2分
(3) ∵
，
，∴
，
，
① 当点M在CO上时，
，
(ⅰ) 
，
，
，
………………………1分
(ⅱ) 
，则
，∵
，矛盾∴不成立…1分
(ⅲ) 
，则
∵
, 
，∴
又∵
，可证△
为等腰三角形，
∴
，∴
，∴
，
……………………………1分
② 当点M在OA上时，
，
(ⅰ) ，
，
， 
………………………1分
(ⅱ) 或∵
，∴不成立．
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