Question

（1）将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）小题中，BE=DF，若四边形ABCD是菱形，那么四边形AECF是什么特殊四边形？请直接写出答案，不证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）四边形AECF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
分析：（1）由平行四边形的对角线互相平分，即可得OA=OC，OB=OD，又由BE=DF，即可求得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF是平行四边形．
（2）同（1），可得四边形AECF是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形AECF是菱形．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．