Question

如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE是⊙O的切线且DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求tanF的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴，
∴
∴
∴，．
在△OFD中，∵OF²=OD²+FD²，
∴，
∴．
分析：（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得OD⊥DE，再根据DE⊥AB，得OD∥AB，从而得出∠ODC=∠B，即可得出∠B=∠ODC，则AB=AC；
（2）由（1）可知，OD∥AE，则，代入数据求出，，再由勾股定理，得，从而得出tanF的值．
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．