Question

（2013•贵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABCS三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，m）（其中m＞0），延长AC到点D，使CD=

1

2

AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）D点的坐标是

（3，

3

2

m）

（用含m的代数式表示）
（2）当△ABC为等腰三角形时，作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的表达式；
（3）在△ABC为等腰三角形的条件下，点P为y轴上任一点，连接BP、DP，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为

（0，m）

．

Answer 1

分析：（1）易证△ABC∽△DEC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得DF，OF的长，则D的坐标即可求解；
（2）易证四边形CDFE是菱形，则直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，则一定经过点F（0，

3

2

），利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）△ABC为等腰三角形，则A、B关于y轴对称，因而直线AD与y轴的交点C就是点P，据此即可求解．

解答：解：（1）∵A（-6，0），B（6，0），C（0，m），
∴OA=OB=6，OC=m，AB=12，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴

DF

OA

=

CF

OC

=

DE

AB

=

1

2

，
∴DF=

1

2

OA=3，CF=

1

2

OC=

1

2

m，
∴OF=

3

2

m，
则D的坐标是（3，

3

2

m）．

（2）∵C点关于直线DE的对称点F，
又∵DE关于y轴对称，
∴四边形CDFE是菱形．
∴直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，则一定经过点F（0，

3

2

），
根据题意得：

6k+b=0 b= 3 2 m

，
解得：

k=- 1 4 m b= 3 2 m

，
则直线的解析式是：y=-

1

4

mk+

3

2

m；

（3）∵△ABC为等腰三角形，
∴A、B关于y轴对称，
∴直线AD与y轴的交点C就是点P，坐标是（0，m）．
故答案是：（3，

3

2

m）；（0，m）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及待定系数法求函数的解析式，以及轴对称的性质，正确判断四边形CDFE是菱形是关键．