Question

（2012•肇庆）已知反比例函数y=

k-1

x

图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．
①求当x=-6时反比例函数y的值；
②当0＜x＜

1

2

时，求此时一次函数y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k-1大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围；
（2）①将一次函数与反比例函数解析式联立组成方程组，由一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，将y=4代入一次函数及反比例函数解析式，用k表示出x，两种相等得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出反比例函数解析式，然后将x=-6代入求出的反比例函数解析式中即可求出对应的函数值y的值；
②将求出的k值代入一次函数解析式中，确定出解析式，应y表示出x，根据x的范围列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的取值范围．

解答：解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，
∴k-1＞0，
解得：k＞1；

（2）①联立一次函数与反比例函数解析式得：

y= k-1 x ① y=2x+k②

，
∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，
∴将y=4代入①得：4x=k-1，即x=

k-1

4

，
将y=4代入②得：2x+k=4，即x=

4-k

2

，
∴

k-1

4

=

4-k

2

，即k-1=2（4-k），
解得：k=3，
∴反比例解析式为y=

2

x

，
当x=-6时，y=

2

-6

=-

1

3

；
②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=

y-3

2

，
∵0＜x＜

1

2

，∴0＜

y-3

2

＜

1

2

，
解得：3＜y＜4，
则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及反比例函数的性质．反比例函数y=

k

x

（k≠0），当k＞0时函数图象位于第一、三象限；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．