题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为( -4 ，0) ，点B 的坐标为(0 ，b)（b>0）。P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P' （点 P' 不在y 轴上），连结P P' ， P'A ，P'C ，设点P 的横坐标为a 。
（1） 当b ＝3 时，求直线AB 的解析式；
（2 ）在(1) 的条件下，若点P' 的坐标是(-1 ，m) ，求m 的值；
（3）若点P 在第一像限，是否存在a ，使△P'CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 的值；若不存在，请说明理由。
（1） 当b ＝3 时，求直线AB 的解析式；
（2 ）在(1) 的条件下，若点P' 的坐标是(-1 ，m) ，求m 的值；
（3）若点P 在第一像限，是否存在a ，使△P'CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1） 设直线AB 的解析式为y=kx+3 ，
把x ＝-4 ，y ＝0 代人上式，得-4k+3 ＝0 ，
∴k=
， ∴y=
x+3；
（2）由已知得点P的坐标是(1，m)，
∴m=
×1+3，
∴m=3
；
(3) 以下分三种情况讨论．
i)若∠AP'C= 90°，P'A= P'C（如图1），过点P'作P'H⊥x轴于点'H，
∴PP'=CH=AH=P'H =
AC，
∴2a=
（a+4），∴a=
；
ii)若∠P'AC=90°，P'A= CA(如图2)，
则PP'=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4；
iii)若∠P'CA =90°，则点P'，P都在第一象限，
这与条件矛盾，∴△P'CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。
把x ＝-4 ，y ＝0 代人上式，得-4k+3 ＝0 ，
∴k=
， ∴y=x+3；（2）由已知得点P的坐标是(1，m)，
∴m=
×1+3，∴m=3
；(3) 以下分三种情况讨论．
i)若∠AP'C= 90°，P'A= P'C（如图1），过点P'作P'H⊥x轴于点'H，
∴PP'=CH=AH=P'H =
AC，∴2a=
（a+4），∴a=；ii)若∠P'AC=90°，P'A= CA(如图2)，
则PP'=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4；
iii)若∠P'CA =90°，则点P'，P都在第一象限，
这与条件矛盾，∴△P'CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。
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