Question

【题目】阅读理解：

如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．

某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

问题解决：

如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．

(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？

(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

Answer 1

【答案】(1)对．理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）直线EF也是△ABC的黄金分割线．

【解析】（1）根据黄金分割的定义得，再根据三角形面积公式得到，，所以，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到，而＜1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；

（3）根据两平行线之间的距离定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，则S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，然后由得到，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线．

（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

∵点D是AB的黄金分割点，

∴，

∵，，

∴，

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，

∴，，

∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；

（3）∵DF∥CE，

∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，

∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，

∵，

∴，

∴直线EF是△ABC的黄金分割线．