题目内容

如图，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，与 $数学公式$ 的图象交于C、D点，E是点C在x轴上的正投影，若△AOD和△AEC的面积之和为3时，则k的值为________．

-2
分析：先求出A、B两个点的坐标，再设C点的坐标为（x₁，-x₁+2），D点的坐标为（x₂，-x₂+2）（x₁＞x₂），联立y=-x+2与 $\text{[math]}$ ，则x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+k=0的两个根，根据方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，并结合已知面积的条件即可求出k的值．
解答：∵直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，
∴A（2，0），B（0，2）．
把y=-x+2代入 $\text{[math]}$ ，整理，得x²-2x+k=0．
设C点的坐标为（x₁，-x₁+2），D点的坐标为（x₂，-x₂+2）（x₁＞x₂），
则x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+k=0的两个根，
∴x₁+x₂=2，x₁²-2x₁+k=0 ①．
∵△AOD的面积+△AEC的面积=3，
∴ $\text{[math]}$ ×2×（-x₂+2）+ $\text{[math]}$ （x₁-2）（x₁-2）=3，
∴ $\text{[math]}$ （-2x₂+4+x₁²-4x₁+4）=3，
将①代入上式，得-k+4=6，
∴k=-2．
故答案为-2．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点、方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．