题目内容

关于x的二次函数 $数学公式$ + $数学公式$ ，其中a为锐角，则：
①当a为30°时，函数有最小值- $数学公式$ ；
②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；
③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
其中正确的结论有

A.
①②
B.
①②③
C.
①②④
D.
②③④

C
分析：①由于2sina＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值．
②令y=0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个：
与x轴有两个交点，与y轴有一个交点；当抛物线经过原点时，抛物线的图象与坐标轴只有两个交点．
首先将a的值代入解析式，先设抛物线与x轴的两个交点横坐标为x₁、x₂，那么这两点间的距离可表示为|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ，以这条线段为底，抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为高即可得到三交点围成的三角形的面积值，然后判断是否小于1即可．
③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x=1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x=1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．
④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sina的影响，所以先将所有含sina的项拿出来，然后令sina的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．
解答：①当a=30°时，sina= $\text{[math]}$ ，二次函数解析式可写作：y=x²- $\text{[math]}$ x=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ；
所以当a为30°时，函数的最小值为- $\text{[math]}$ ；故①正确．
②令y=0，则有：2sinax²-（4sina+ $\text{[math]}$ ）x-sina+ $\text{[math]}$ =0，
△=（4sina+ $\text{[math]}$ ）²-4×2sina×（-sina+ $\text{[math]}$ ）=24sin²a+ $\text{[math]}$ ＞0，
所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；
设抛物线与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0）；
当a=45°时，sina= $\text{[math]}$ ，得：y= $\text{[math]}$ x²-（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ ，则：
三角形的面积 S= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ≈0.3＜1
故②正确．
③∵2sina＞0，且对称轴x=- $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ＞1，
∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；
故③错误．
④y=2sinax²-（4sina+ $\text{[math]}$ ）x-sina+ $\text{[math]}$ =sina（2x²-4x-1）- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
当2x²-4x-1=0，即 x=1± $\text{[math]}$ 时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）、（1- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
故④正确．
综上，正确的选项是①②④，故选C．
点评：此题虽然是选择题，但难度和计算量都比较大，将三角函数与二次函数综合在一起的形式也加大了题目的难度．主要涉及到：二次函数最值的求法、三角形面积的求法、二次函数与一元二次方程以及不等式的联系等几方面的知识，这就要求同学对基础知识的牢固掌握并进一步做到灵活运用．