Question

【题目】如图，已知，点为直线上一点，以为边，点为直角顶点作等腰直角三角形．

（1）如图①，当点在线段上时，交于点，连接；

①找出一对全等三角形为_____________；

②若四边形的面积为7，则的长是_______．

（2）如图②，当点在的延长线上时，交于点，连接．

①的面积记为，的面积记为，探究、之间的数量关系并说明理由；

②当的面积为1时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②3；（2）①，理由见解析；②

【解析】

（1）①由“SAS”可证△ABE≌△CBF；

②过点B作BM⊥AC于M，由三角形的面积公式可求S△ABC=×4×2=4，可求S△CBF=3=S△ABM，即可求AE的长；

（2）①由全等三角形的性质S△ABE=S△CBF，由三角形面积关系可求4+m=n；

②过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，由全等三角形的性质可得AE=CF，∠A=∠BCH=45°=∠ACB，由角平分线的性质可得BG=BH=2，由三角形面积可求DF=5，设AE=x，则，由三角形面积公式可列出，可求x的值，即可得AE的长．

解：（1）①△ABE≌△CBF；

理由如下：

∵∠ABC=∠EBF=90°，

∴∠ABE=∠CBF，且AC=BC，EB=BF

∴△ABE≌△CBF（SAS）

故答案为：△ABE≌△CBF；

②如图，过点B作BM⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，AB=BC，AC=4，BM⊥AC，

∴AM=CM=BM=2

∴S△ABC=×4×2=4

∵S四边形ABFC=7

∴S△CBF=3=S△ABM，

∴×AE×BM=3

∴AE=3

故答案为：3；

（2）①∵

∴

即

∴

∴

②由①得：

当时，

即，

过点作于点，于点，

在中∵，

∴

∵

∴

∴

即平分，且，

∴

∵

∴

即

则

设，则，，

∵

∴

即

∵

∴

即

化简得：

解得：(不合题意，舍去)

即．