Question

如图，已知抛物线y＝与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；

(3)如图，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：令x＝0得，y＝4，∴C(0，4) 　　∴OB＝OC＝4，∴B(4，0)　　1分 　　代入抛物线表达式得： 　　16a－8a＋4＝0，解得a＝ 　　∴抛物线的函数表达式为　　2分 　　(2)解：过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H， 　　设P(x，0)，△PMN的面积为S，则 　　PG＝，MG＝，PH＝，NH＝ 　　∴S＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝　　3分 　　＝ 　　∵，∴当x＝1时，S有最大值是　　4分 　　∴△PMN的最大面积是，此时点P的坐标是(1，0)　　5分 　　(3)解：存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况： 　　①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA 　　由抛物线得：A(－2，0)，对称轴为直线x＝1 　　∴OA＝2，OC＝4，OD＝1 　　①若△DOE∽△AOC，则 　　∴，解得OE＝2 　　∴点E的坐标是(0，2)或(0，－2) 　　若点E的坐标是(0，2)，则直线DE为： 　　解方程组 　　得：，(不合题意，舍去) 　　此时满足条件的点F1的坐标为(，)　　6分 　　若点E的坐标是(0，－2)， 　　同理可求得满足条件的点F2的坐标为(，)　　7分 　　②若△DOE∽△COA， 　　同理也可求得满足条件的点F3的坐标为(，)　　8分 　　满足条件的点F4的坐标为(，)　　9分 　　综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为： 　　F1(，)、F2(，)、F3(，)或F4(，)．