题目内容
如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
（1）试求该二次函数表达式；
（2）动点P是线段AC上的一个动点，从A到C以1个单位长/秒的速度运动，当点P运动到点C时，运动停止，计算当点P运动多长时间时，△OPC是直角三角形？并计算OP的长度；
（3）点E是线段AD中点，在抛物线上是否存在点Q，直线EQ把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分？如果存在求出所有满足条件的点Q坐标，如果不存在请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）运用x=0，y=0求出点A与点C的坐标，再根据平行四边形的特点求出D点坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（2）设点P运动了t秒时，利用△APO∽△AOC，求出t，再求出OP．
（3）分两种情况，根据ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，求出M的坐标，再求出ME所在的直线解析式，与抛物线的交点就是点Q的坐标．
（2）设点P运动了t秒时，利用△APO∽△AOC，求出t，再求出OP．
（3）分两种情况，根据ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，求出M的坐标，再求出ME所在的直线解析式，与抛物线的交点就是点Q的坐标．
解答：解：（1）由y=-
x+3，
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（-4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=
x2+bx+c，可得
，
解得
，
∴故该二次函数解析式为：y=
x2-
x-3．
（2）如图，∠OPC=90°，
∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
设点P运动了t秒时，此时AP=t，
∵∠OPC=90°，
∴△APO∽△AOC，
∴
=
，即
=
解得t=
，
∴当点P运动
秒时，△OPC是直角三角形，
OP=
=
=
，
（3）①如图1，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=4，
∵梯形BMEA和梯形MCDE的高相等，
（BM+AE）：（DE+CM）=1：2
（BM+4）：（4+8-BM）=1：2
解得BM=
，
∵OM=OB-BM=4-
=
∴M点的坐标为（-
，0），
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，
解得
∴y=
x+
，
∵y=
x2-
x-3．
联立组成方程组
解得
∴点Q的坐标为（
，
）或（
，
）
②如图2，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，
同①可得出CM=
，
∵OM=OC-CM=4-
=
∴M点的坐标为（
，0），
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，
解得
，
∴y=
x-6，
∵y=
x2-
x-3．
联立组成方程组
解得
，
∴点Q的坐标为（10+
，
）或（10-
，
），
综上所述：存在满足条件的点Q坐标（10+
，
）或（10-
，
），或（
，
）或（
，
）．
| 3 |
| 4 |
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（-4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=
| 1 |
| 8 |
|
解得
|
∴故该二次函数解析式为：y=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
（2）如图，∠OPC=90°，
∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
设点P运动了t秒时，此时AP=t，
∵∠OPC=90°，
∴△APO∽△AOC，
∴
| AP |
| AO |
| AO |
| AC |
| t |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
解得t=
| 9 |
| 5 |
∴当点P运动
| 9 |
| 5 |
OP=
| AO2-AP2 |
32-(
|
| 12 |
| 5 |
（3）①如图1，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=4，
∵梯形BMEA和梯形MCDE的高相等，
（BM+AE）：（DE+CM）=1：2
（BM+4）：（4+8-BM）=1：2
解得BM=
| 4 |
| 3 |
∵OM=OB-BM=4-
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴M点的坐标为（-
| 8 |
| 3 |
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，
|
解得
|
∴y=
| 9 |
| 20 |
| 6 |
| 5 |
∵y=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
联立组成方程组
|
解得
|
|
∴点Q的坐标为（
14-2
| ||
| 5 |
123-9
| ||
| 50 |
14+2
| ||
| 5 |
123+9
| ||
| 50 |
②如图2，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，
同①可得出CM=
| 4 |
| 3 |
∵OM=OC-CM=4-
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴M点的坐标为（
| 8 |
| 3 |
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，
|
解得
|
∴y=
| 9 |
| 4 |
∵y=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
联立组成方程组
|
解得
|
|
∴点Q的坐标为（10+
| 76 |
66+9
| ||
| 4 |
| 76 |
66-9
| ||
| 4 |
综上所述：存在满足条件的点Q坐标（10+
| 76 |
66+9
| ||
| 4 |
| 76 |
66-9
| ||
| 4 |
14-2
| ||
| 5 |
123-9
| ||
| 50 |
14+2
| ||
| 5 |
123+9
| ||
| 50 |
点评：本题主要考查了二次函数综合题，难点在（3）题，解题的关键是运用分成两梯形的面积之比求出点M的坐标，再求直线ME与抛物线的交点，同时考查了学生的计算能力．
练习册系列答案
相关题目
如图，Rt△ABC中，∠B=30°，BC=12cm，求AC的长．
如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B=30°，AT=