Question

【题目】如图1，将两个等腰三角形和拼合在一起，其中，，.

（1）操作发现

如图2，固定，把绕着顶点旋转，使点落在边上.

填空：线段与的关系是①位置关系：______；②数量关系：______

（2）变式探究

当绕点旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）解决问题

如图4，已知线段，线段，以为边作一个正方形，连接，随着边的变化，线段的长也会发生变化.请直接写出线段的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）延长交于点.依据证明，由全等三角形的性质可得到，然后再由，，可得到；

（2）如图2所示：记与的交点为，与的交点为.先证明，然后依据证明，由全等三角形的性质可得到，然后由，，可证明；

（3）过点作，取，连结，先在等腰直角中求得的长，然后依据三角形的三边关系可求得的取值范围，最后依据证明，由全等三角形的性质得到，故此可求得的取值范围.

解：（1）延长交于点.

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

故答案为：，.

（2）如图2所示：记与的交点为，与的交点为.

∵，

∴，即.

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

（3）如图3所示：过点作，取，连结.

∵，，

∴.

∵，，

∴.

∵，

∴，即.

在和中，

∴.

∴.

∴.