题目内容

已知：如图，平面直角坐标系中，半圆的直径AB在x轴上，圆心为D．半圆交y轴于点C，AC=2 $数学公式$ ，BC=4 $数学公式$ ．
（1）证明：△AOC∽△ACB；
（2）求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程；
（3）求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式；
（4）设此抛物线的顶点为E，连接EC，试判断直线EC与⊙O的位置关系，并说明理由．

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC．
∴△AOC∽△ACB．

（2）解：AB= $\text{[math]}$ =10，
∵△AOC∽△ACB，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴AO= $\text{[math]}$ =2，BO=AB-AO=8．
∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为（ x-2 ）（ x-8 ）=0；

（3）解：在Rt△AOC中，OC=4，
∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），依题意有：
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴表达式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4．

（4）直线EC与⊙D相切，理由如下：
∵ $\text{[math]}$ ，
∴顶点E的坐标为（3， $\text{[math]}$ ）．
连接EC、CD、ED，则CD=AD=5，ED= $\text{[math]}$ ．
∴CF=3，EF= $\text{[math]}$ ，CE= $\text{[math]}$ ．
∴CD²+CE²= $\text{[math]}$ ，DE²= $\text{[math]}$ ．
∴CD²+CE²=DE²．
∴∠DCE=90°，CD为半径．
∴直线EC与⊙D的位置关系是相切．
分析：（1）根据圆的知识求出∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC然后可证明△AOC∽△ACB．
（2）由1得出相似三角形继而求出线段比．求出AO= $\text{[math]}$ =2得解．
（3）设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把已知坐标代入求出函数表达式．
（4）把函数表达式化简求出点E的坐标，然后连接EC，CD，ED，根据勾股定理求证∠DCE=90°，即可知直线EC与⊙D的位置关系是相切．
点评：本题考查的是二次函数与圆的知识相结合的有关知识以及勾股定理的运用．难度较大．