Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．
设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y，试求关于y的函数表达式，并求 x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

(1) S=•x•x=x²，（0＜x≤8）；(2) 当x=时，y有最大值，最大值为8．

试题分析：（1）先证明△AMN∽△ABC，则可根据相似三角形的对应边成比例求AN，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S；
（3）先求出P点在BC上时AM的值，然后进行讨论：当0＜x≤4时，y=S=•x•x=x²，根据二次函数的性质得到x=4，y的最大值为6；当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF，利用矩形的性质可表示出PN=AM=x；再由平行四边形BFNM的性质解得FN=8-x，PF=2x-8，则可利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S△PEF值；然后写出y与x的解析式，再根据二次函数的性质求出y的最大值，最后综合两种情况即可．
（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
即，解得AN=x，
∴△AMN的面积=•x•x=x²，
∵四边形AMPN是矩形，
∴S=•x•x=x²，（0＜x≤8）；
（2）若P点在BC上时，
∵四边形AMPN是矩形，
∴O点为AP的中点，
而MN∥BC，
∴MN为△ABC的中位线，此时AM=4，
当0＜x≤4时，y=S=•x•x=x²，此时x=4，y的最大值为6；
当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，如图，
y=S_梯形MEFN=S_△PMN-S_△PEF，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
∵Rt△PEF∽Rt△ACB，
∴，
而S_△ABC=×8×6=24，
∴S_△PEF=（x-4）²，
∴y=x²-（x-4）²
=-x²+12x-24，
=-（x-）²+8（4＜x≤8），
∵a=-＜0，
∴当x=时，y有最大值，最大值为8，
综上所述，当x=时，y有最大值，最大值为8．