Question

19．四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，BD=2，DC=4，则AD=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，得到∠AEC=∠AFB=90°，根据余角的性质得到∠BAF=∠ACE，推出△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质得到CE=AF，AE=BF，由∠BAC=∠BDC=90°，得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ADC=45°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAF=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AEC}\\{∠ACE=∠BAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE，
∴CE=AF，AE=BF，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADB=∠ADC=45°，
∴BF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，CE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AE+DE=BF+CE=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．