题目内容
3．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，$\sqrt{3}$）为圆心，以2$\sqrt{3}$长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E，连结AC．（1）求证：点P是$\widehat{BD}$的中点；
（2）求出CP所在直线的解析式；
（3）若点F（x，0）是线段OB上的一个动点，连结MF、PF．
①设△MPF的面积为S，写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②是否存在这样的点F使△MPF的周长最小？若存在，请求出F点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用直角三角形的性质可得∠AMO=60°，由外角性质可得∠MCP=30°，由圆周角定理可得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理易得PB∥MO，AO=BO，可得PB=2OM，得P点坐标，由点C的坐标，利用待定系数法易得直线PC的解析式；
（3）①数形结合可得S△MPF=S四边形OMBP-S△MOF-S△PBF，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可；②利用对称的性质可得当点F运动到点E时，△MPF的周长最小，解得E点的坐标，可得△MPF的最小周长．
解答 解：（1）在直角三角形AMO中，
∵OM=$\frac{1}{2}$AM，
∴∠MAO=30°，∠AMO=60°，
∵AM=MC，
∴$∠MPC=∠MCP=\frac{1}{2}∠AMO$=30°，
∴∠PAO=∠MCP，
∴DP=BP，即点P是BD的中点；
（2）连接BP，如图1，
∵AP是⊙M的直径，
∴∠PBA=90°，
∵PC是⊙M的直径，且垂直于弦AB，
∴DC平分弦AB，
∵在Rt△AMO中，AM=2$\sqrt{3}$，OM=$\sqrt{3}$，
∴AO=OB=3，OC=MC-OM=2$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为；（0，-$\sqrt{3}$），
∵DC⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2$\sqrt{3}$，
∴P点的坐标为（3，2$\sqrt{3}$），
又∵C（0，-$\sqrt{3}$），
设直线CP的解析式为y=kx+b（k≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=3k+b}\\{-\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CP的解析式为：y=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$；
（3）①如图2，S△MPF=S四边形OMBP-S△MOF-S△PBF
=$\frac{1}{2}$×（OM+BP）×OB$-\frac{1}{2}OM•OF$$-\frac{1}{2}•BP•BF$
=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×3$-\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{2}×（3-x）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}$（0≤x≤3）；
②∵点M与点C关于AB对称，
∴当点F运动到点E时，△MPF的周长最小，
把y=0代入直线CP的解析式为y=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，
解得：x=1，
∴点E的坐标为（1，0），
∴当点F的坐标为（1，0）时，使△MPF的周长最小，△MPF的最小周长=PC+MP=6$+2\sqrt{3}$．
点评 本题主要考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的有关性质和待定系数法求解析式等，综合运用各定理数形结合是解答此题的关键．
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案| A． | 2$\frac{2}{3}$ | B． | 3$\frac{1}{2}$ | C． | 3$\frac{2}{3}$ | D． | 4$\frac{1}{2}$ |
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| D． | 自行车发生故障时离家距离为1000米 |