Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．

（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

（2）当BP=时，试说明射线CA与⊙P是否相切．

（3）连接PA，若S△APE=S△ABC，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜）；（2）相切；（3）或或．

【解析】（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=ACcos30°=6×=，∴∠ADE=30°，∴∠DAE=∠CPE=60°，∴∠CEP=90°，∴CE=AC+AE=6+y，∴PC==，∵BC=，∴PB+CP= =，∴，∵BD=2BH=x＜6，∴x＜，∴x的取值范围是0＜x＜；

（2）相切．理由如下：

∵BP=，∴CP=，∴PE=PC==PB，∴射线CA与⊙P相切；

（3）当D点在线段BA上时，连接AP，∵S△ABC=BCAF==，∵S△APE=AEPE=y×（6+y）=S△ABC=，解得：y=，代入得x=．

当D点BA延长线上时，PC=EC=（6﹣y），∴PB+CP=x+（6﹣y）=，∴，∵∠PEC=90°，∴PE===（6﹣y），∴S△APE=AEPE=x=y（6﹣y）=S△ABC=，解得y=或，代入得x=或．

综上可得，BP的长为或或．