Question

【题目】在中，，其中一个锐角为，，点在直线上（不与，两点重合），当时，的长为__________．

Answer 1

【答案】或或4

【解析】

根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．

解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵，
∴，

在Rt△APB中，根据勾股定理,

即,

即，解得，

如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，

∴
在Rt△BCP中，根据勾股定理,

即,解得PC=4（已舍去负值）．

综上所述，的长为或或4．

故答案为：或或4．