Question

如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A、B，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位置上时，QP=QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数．

Answer 1

分析：点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．

解答：解：①根据题意，画出图①，
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图②）
∵OC=OQ，∴∠OQP=

180°-∠QOC

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=

180°-∠OQP

2

②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图③），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=

180°-∠COQ

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=

180°-∠OQP

2

②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

点评：考查了圆的认识和等腰三角形的性质，注意：分三种情况进行讨论是解决本题的关键．