题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，点A的坐标为（12，-8），点B、C在x轴上，tan∠ABC= $数学公式$ ，AB=AC，AH⊥BC于H，D为AC边上一点，BD交AH于点M，且△ADM与△BHM的面积相等．
（1）求点D坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；
（3）过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将（2）中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为E′（点E′在y轴右侧）．是否存在这样的抛物线，使△E′FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中点，∴D是AC中点．
∵AH=8，tan∠ABC= $\text{[math]}$ ，∴BH=CH=6，
∵A的坐标为（12，-8），∴B、C坐标分别为（18，0）、（6，0）．
∴D的坐标为（9，-4）．

（2）设经过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-6）（x-18），
∵抛物线过D点，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a= $\text{[math]}$ ．
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x-6）（x-18），顶点E的坐标为（12，- $\text{[math]}$ ）．

（3）设直线l的解析式为y= $\text{[math]}$ x+b，∵直线过点E，∴b=- $\text{[math]}$ ，
∴G的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ）．
∴设平移后的抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x-m）²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$
∴F的坐标为（0， $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），E′的坐标为（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），
若E′G=E′F，则 $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ m，
∴m=0（舍去），m=9，此时E′的坐标为（9，- $\text{[math]}$ ）．
若E′G=GF，则 $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴m=0（舍去），m= $\text{[math]}$ ，此时E′的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
若E′F=GF，不存在．
综上所述E′点的坐标为（9，- $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）要求点D的坐标，可以先确定点D的位置，由△ADM、△BHM的面积相等，它们加上一个公共三角形△AMB后，可得出△ADB、△AHB的面积相等，显然D、H两点到直线AB的距离相等，即DH∥AB，而H是BC的中点，那么点D应该是AC的中点，所以只要求出点C的坐标即可确定点D的坐标．首先由点A坐标能得到AH的长，在Rt△AHB中，已知AH的长以及∠ABH的正切值，通过解直角三角形即可求出BH的长，根据等腰三角形的性质易知BH=HC，在得出OH（点A横坐标的绝对值）、CH的长后，即可确定点C的坐标，由此得解．
（2）利用待定系数法能求出抛物线的解析式，由配方法或公式法能求出顶点E的坐标．
（3）首先表达出平移后的函数解析式，能得到点E′、G的坐标；再由直线l与AB平行，求出直线l的解析式（两条直线平行，则它们的斜率相同），能得到点F的坐标；若△E′FG为等腰三角形，需要考虑到三种情况：
①E′F=E′G；此时E′在线段FG的中垂线上，那么点E′纵坐标应该是点F、G两点纵坐标和的一半，据此求解；
②E′G=FG；FG可由两点纵坐标差的绝对值求得，而E′G可由点E横坐标以及∠OGB的正弦值求得，列出等式后即可确定点E′的坐标；
③E′F=FG；这种情况下，点F必在E′下方，显然这种情况不符合抛物线图象的特点，因此这种情况不予考虑．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、图形面积的解法、函数解析式的确定以及等腰三角形的判定和性质等重要知识；最后一题中，在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，要分类讨论．