Question

已知：抛物线y＝－x²－(m＋3)x＋m²－12与x轴交于A(x₁，0)、B(x₂，0)两点，且x₁＜0，x₂＞0，抛物线与y轴交于点C，OB＝2OA．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与⊙CAO相似，并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D；

(3)过(2)中的点E的直线y＝x＋b与(1)中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为、，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S_{梯形MM＇NN＇}：S_△QMN＝35∶12，若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵x1＜0，x2＞0，∴OA＝－x1，OB＝x2，∵x1，x2是方程－x2－(m＋3)x＋m2－12＝0的两个实数根，由根与系数关系得：x1＋x2＝－2(m＋3)①，x1·x2＝－2(m2－12)②，又x2＝－2x1③，联立，整理，得m2＋8m＋16＝0，解的m1＝m2＝－4，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4; 　　(2)设点E(x，0)，则OE＝－x，∵△ECO与△CAO相似，∴＝，∴＝，∴x＝－8，∴点E(－8，0)设过E、C两点的直线解析式为y＝x＋，由题意得，解得，所以直线CE的解析式y＝x＋4，∵抛物线的顶点D(1，)，当x＝1时，y＝，∴点D在直线EC上; 　　(3)存在t值，使S梯形MM′N′N∶S△QMN＝35∶12．∵E(－8，0)，∴0＝×(－8)＋b，∴b＝2，∴y＝x＋2，∴x＝4(y－2)，∴y＝－×[4(y－2)]2＋4(y＋2)＋4，整理得8y2－35y＋6＝0，设M(xm，ym)、N(xn，yn)，∴M＝ym，N＝yn，∴ym、yn是方程8y2－35y＋36＝0的两个实数根，∴ym＋yn＝，∴S梯形MN＝(ym＋yn)(xn－xm)，∵点P在直线y＝x＋2，点Q在(1)中抛物线上，∴点P(t，t＋2)、点Q(t，－t2＋t＋4)，∴PQ＝－t2＋t＋4－t＋2＝－t2＋t＋2，分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM＝t－xm，NH＝xn－t，∴S△QMN＝S△QMP＋S△QNP＝PQ(xn－xm)，∵S梯形MM＇NN＇：S△QMN＝35∶12∴＝∴＝(－t2＋t＋2)，整理，得2t2－3t－2＝0，解得t1＝，t2＝2，∴当t＝或t＝2时，S梯形MM＇NN＇：S△QMN＝35∶12