Question

4．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为CD边的中点，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$cm．

Answer 1

分析 ①过P作PN⊥BC，交BC于点N，则∠PNQ=∠APN=90°，由正方形的性质得出AD=DC=PN=4，∠D=90°，由勾股定理求出AE，得出AM，由HL证明Rt△ADE≌Rt△PNQ，得出∠DAE=∠NPQ，证出∠AMP=90°，再证明△APM∽△AED，得出对应边成比例，即可得出结果；②根据对称性得出PD=$\frac{5}{2}$，求出AP=$\frac{3}{2}$；即可得出答案．

解答 解：①过P作PN⊥BC，交BC于点N，如图所示：

则∠PNQ=∠APN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=PQ}\\{AD=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴∠DAE=∠NPQ，
∵∠APQ+∠NPQ=90°，
∴∠APQ+∠DAE=90°，
∴∠AMP=90°，
∵M为AE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$，
∵∠AMP=∠D=90°，∠PAM=∠EAD，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
解得：AP=$\frac{5}{2}$；
②根据对称性得：PD=$\frac{5}{2}$，
∴AP=AD-PD=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．