Question

如图，已知梯形ABCD的下底边长AB=8cm，上底边长DC=1cm，O为AB的中点，梯形的高DO=4cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，沿B→C→D→A匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，另一动点也同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求S随t变化的函数关系式及t的取值范围；
（2）当t为何值时S的值最大？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分别求出当0＜t＜4时，当4＜t≤5时，当5＜t≤6时，当6＜t≤8时，△OPQ的底边和高，再根据面积公式即可求出S随t变化的函数关系式；
（2）分别求出当0＜t＜4时，当4＜t≤5时，当5＜t≤6时，当6＜t≤8时，S_△OPQ的最大值，然后找出四个结果中最大的即可．
解答：解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O为AB的中点，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如图（1），当0＜t＜4时，点Q在BC上，点P在点O左侧时，
过点Q作QF⊥AB，

则PO=4-t，BQ=t，
=，
=，
QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（4-t）t=t-t²；
②如图（2），当4＜t≤5时，

OP=t-4，QF=t，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）t=t²-t；
③如图（3），当5＜t≤6时，

OP=t-4，QF=4，
S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×4=2t-8；
④如图（4），当6＜t≤8时，

∵OA=OD=4
∴AD==4，
∴AD+CD+CB=4+1+5=6+4，
∴AQ=6+4-t，
∵=，
∴=，
∴QF==4-（t-6），
∴S_△OPQ=PO•QF=（t-4）×[4-（t-6）]=t²+t-8-6；

（2）当0＜t＜4时，t=2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值为；
当4＜t≤5时，t=5S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值为2；
当5＜t≤6时，t=6S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值为4；
当6＜t≤8时，t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值为2+，
则t=5+2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值为2+．
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等，关键是根据题意画出符合要求的所有图形．