Question

如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G=90°，FG=4cm，EG=3cm，且点B、F、C、G在直线l上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所表示的方向作匀速直线运动．
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式；
（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，

8

9

），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．

Answer 1

分析：（1）运动到CD的路程为FG长，运动到AB的路程长为5+4=9，时间=路程÷速度
（2）应根据时间不同得到的重合部分为：没有完全进入正方形时的三角形；整个△EFG的面积；没有完全离开时的梯形．
（3）列表，描点，连线，把纵坐标代入二次函数即可求得P坐标．可求得∠POB的正切值，得到∠POB的度数．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求得∠PAB的度数．

解答：解：（1）∵FG=4，设E到CD上的时间为t₁，
∴t₁=

4

1

=4（秒）．
设E到AB上的时间为t₂，
∴t₂=

BC+FG

1

=9（秒）．（1分）

（2）①当0＜x≤4时，设EF交CD于K，
∵△FCK∽△FGE，
∴

x

4

=

CK

3

，
∴CK=

3

4

x．
∴y=

1

2

•x•

3

4

x=

3

8

x²．（2分）
②当4＜x≤5时，
y=S_△FGE=

1

2

×4×3=6．（3分）
③当5＜x≤9时，y=6-

3

8

（x-5）²．（4分）
∴y=

3 8 x2，0≤x≤4 6，4＜x≤5 6- 3 8 (x-5)2，5＜x≤9 0．x＞9

(5分)．

（3）列表并画图．（正确画出大致图象就可得分）（6分）
∵点P（x，

8

9

）在函数图象上，
∴

3

8

x²=

8

9

．
解得x₁=

8 3

9

，x₂=-

8 3

9

（舍去）．
∴P（

8 3

9

，

8

9

）．
∴tan∠POB=

8 9

8 3 9

=

3

3

（7分）
∴POB=30度．
∴∠PAB=15度．（8分）

点评：注意运动过程中不同时间出现的不同形状，用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半