Question

（2013•金山区二模）已知正方形ABCD的边长为

3

，点E在DC上，且∠DAE=30°，若将△ADE绕着点A顺时针旋转60°，点D至D′处，点E至E′处，那么△AD′E′与四边形ABCE重叠部分的面积是

6-3

3

．

Answer 1

分析：作出图形，解直角三角形求出DE、AE，再根据旋转角为60°可知AE′在直线AB上，然后求出BE′，设D′E′与BC相交于F，解直角三角形求出BF再根据重叠部分的面积等于△AD′E′的面积减去△BE′F的面积，列式计算即可得解．

解答：解：如图，∵正方形ABCD的边长为

3

，∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan30°=

3

×

3

3

=1，
AE=2DE=2，
∵∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-30°=60°，旋转角为60°，
∴旋转后AE′在直线AB上，
∴BE′=AE′-AB=2-

3

，
设D′E′与BC相交于F，
∵∠E′=∠AED=90°-30°=60°，
∴BF=BE′•tan60°=（2-

3

）×

3

=2

3

-3，
∴△AD′E′与四边形ABCE重叠部分的面积=S_△AD′E′-S_△BE′F=

1

2

×

3

×1-

1

2

×（2-

3

）×（2

3

-3），
=

3

2

-

7 3

2

+6，
=6-3

3

．
故答案为：6-3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质，解直角三角形，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，作出图形更形象直观．