Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。

解答：（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在：△ABG≌△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG；

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，

∵AB²+AG²=BG²，即6²+x²=（8﹣x）²，解得x=，

∴tan∠ABG===；

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE=，

∴EH=HD×=4×=，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位线，

∴HF=AB=×6=3，

∴EF=EH+HF=+3=．