Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0）与点C（0，3），连接BC，点P是直线BC是上方的一个动点（且不与B，C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△PBC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x＋3（2）

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图，过点P做PD垂直x轴，交BC于点F，连接PB，PC，根据S△PBC＝S△PBF＋S△PFC＝PF(OD＋DB)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

（1）设抛物线方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）将A（-1，0），B（3，0）,C（0，3）三点代入可得：，

解得，

所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x＋3;

（2）如图，过点P做PD垂直x轴，交BC于点F，连接PB，PC，

设BC的直线方程为y＝kx＋b，

代入B点，C点可得，解得

所以直线AC为y＝-x＋3，

设P点坐标为（m，m2+2m＋3），F点的坐标为（m，-m＋3），

所以|PF|＝m2+2m＋3（-m＋3）＝m2+3m，

∵S△PBC＝S△PBF＋S△PFC

＝PF(OD＋DB)

＝PFOB，

∴S△PBC＝ (m2+3m)×3＝ (x-)2＋ (0＜m＜3)

所以当m＝时，S△PBC最大，最大值为．