Question

已知，⊙O与直线l相切于点C，直径AB∥l，P是l上C点左边（不包括C点）一动点，AP交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE的延长线交l于F．
（1）当PC＜AO时，如图1，线段PF与FC的大小关系是

 

．结合图1，证明你的结论；
（2）当PC＞AO时，AP的反向延长线交⊙O于D，其它条件不变，如图2，（1）中所得结论是否仍然成立？
答：

 

；（不证明）
（3）如图2，当tan∠APB=

1

2

，tan∠ABE=

1

3

，AP=

2

时，求PF的长．

Answer 1

分析：（1）由于FC²=FE•FD，因此只要证PF²=FE•FD即可，可以通过证三角形PEF和DPF相似来解．证这两个三角形相似关键是求∠DPF=∠PEF，可通过等角的补角相等来证，∠DEP是圆内接四边形ADEB的外角，∠DEP=∠A，而∠A是∠DPF的补角（平行线间的同旁内角），∠DEP是∠PEF的补角，由此可得证．
（2）证法同（1）．
（3）求PF，关键是求PC的长，也就是求出PE，BE的长．连接AE，那么可在直角三角形APE中，根据∠APE的正切值和勾股定理可以求出AE，PE的长，然后用AE的长，在直角三角形ABE中根据∠B的正切值求出BE的长，那么根据切割线定理得出的PC²=PE•PB，可求出PC的长，也就求出了PF的长．

解答：解：（1）PF=FC．
证明：∵四边形ABED内接与⊙O，
∴∠PDE=∠B．
∵AB∥l，
∴∠B=∠EPF．
∴∠PDE=∠EPF．
∴△PFE∽△DFP．
∴

PF

EF

=

DF

FP

．
∴PF²=EF•FD．
∵CF切⊙O于C，
∴CF²=FE•FD．
∴PF²=CF²即PF=CF．

（2）成立．

（3）连接AE．
⊙O中，∵AB是直径，∴AE⊥PB
在Rt△APE中，由tan∠APB=

1

2

，
设AE=x，则PE=2x．
由AP²=AE²+PE²，得x=

10

5

∴AE=

10

5

，EP=

2 10

5

在Rt△AEB中，BE=

AE

tan∠ABE

=

3 10

5

⊙O中PC切⊙O于C，
∴PC²=PE•PB=PE•（PE+EB）=

2 10

5

•（

2 10

5

+

3 10

5

）=4．
∴PC=2．
∴PF=

1

2

PC=1．

点评：本题主要考查了切割线定理，相似三角形的性质以及解直角三角形等知识点，通过线段的比例关系来求解是本题的基本思路．