Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=4．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE

∴△ADF∽△AED

（2）解：∵ ，CF=3，

∴DF=9，

∴CD=CF+DF=12，

∴CG=DG=6，

∴FG=CG﹣CF=3

（3）解：∵AF=4，FG=3，

∴AG= ，

由（1）可知：∠E=∠ADF，

∴tanE=

【解析】（1）根据垂径定理可知，∠ADF=∠AED，又因为∵∠FAD=∠DAE，从而可知△ADF∽△AED；（2）由题意可求出DF的长度为9，从而可求出CD的长度为12，由垂径定理可知：CG=DG=6，所以FG=CG﹣CF=3；（3）由勾股定理可求出AG的长度，由圆周角定理可知∠E=∠ADF，从而可求出tan∠E的值．