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当实数
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________时,
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________时,
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某校数学研究小组在研究有关二次函数及其图象性质时,发现了一个重要结论:抛物线y=ax
2
+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它们的顶点都在某条直线上.
(1)请你协助探求出这条直线的表达式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它吗?并说明理由.
某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论:一是发现抛物线y=ax
2
+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax
2
+2x+3的顶点的横坐标减少
1
a
,纵坐标增加
1
a
,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加
1
a
,纵坐标增加
1
a
,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax
2
+2x+3上.
(1)请你协助探求实数a变化时,抛物线y=ax
2
+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由.
(2011•自贡)已知抛物线y=ax
2
+2x+3(a≠0)有如下两个特点:①无论实数a怎样变化,其顶点都在某一条直线l上;②若把顶点的横坐标减少
1
a
,纵坐标增大
1
a
分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加
1
a
,纵坐标增加
1
a
分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线y=ax
2
+2x+3(a≠0)上.
(1)求出当实数a变化时,抛物线y=ax
2
+2x+3(a≠0)的顶点所在直线l的解析式;
(2)请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)提出一个猜想吗?请用数学语言把你的猜想表达出来,并给予证明.
(2013•新余模拟)已知抛物线y=x
2
-2mx+3m
2
+2m.
(1)若抛物线经过原点,求m的值及顶点坐标,并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上;
(2)是否无论m取任何实数值,抛物线顶点一定不在第四象限?说明理由;当实数m变化时,列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式,并求出该函数的最小函数值.
(2012•江西模拟)甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f:y=x
2
-2mx+2m
2
+2m进行探讨交流时,各得出一个结论.
甲同学:当抛物线f经过原点时,顶点在第三象限平分线所在的直线上;
乙同学:不论m取什么实数值,抛物线f顶点一定不在第四象限.
(1)请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标,并说明甲同学的结论是否正确?
(2)乙同学的结论正确吗?若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线f顶点在第四象限时,m的取值范围.
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