Question

某校数学研究小组在研究有关二次函数及其图象性质时，发现了一个重要结论：抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它们的顶点都在某条直线上．
（1）请你协助探求出这条直线的表达式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可以取a=1或-1，分别求出抛物线的顶点坐标，运用“两点法”求直线解析式；
（2）运用顶点坐标公式，先表示抛物线的顶点坐标，再根据a的取值范围进行判断．

解答：解：（1）当a=1时，y=x²+2x+3的顶点是（-1，2），
当a=-1时，y=-x²+2x+3的顶点是（1，4），
设直线的表达式为y=kx+b，则

2=-k+b 4=k+b

，
解得

k=1 b=3

，
∴所求直线的表达式为y=x+3；

（2）抛物线y=ax²+2x+3的顶点是（-

1

a

，3-

1

a

），
而-

1

a

≠0，3-

1

a

≠3，
∴直线y=x+3一个点（0，3）不是该抛物线的顶点．

点评：本题考查了二次函数 的性质，待定系数法求一次函数解析式．关键是根据题意，采用特殊值法求直线解析式，根据顶点坐标的表达式求解．