Question

2．类比三角形中位线的定义，我们给出梯形中位线的定义：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、DC的中点，称线段EF为梯形ABCD的中位线．
（1）理解：如图，若点E是AB的中点，EF∥BC交CD于F，则EF是梯形ABCD的中位线吗？为什么？
（2）探究：如图，梯形ABCD的中位线EF与线段AD、BC三者之间的位置关系和数量关系如何？请说明理由：（点拨：可连接DE并延长交CB的延长线于G，这样就可把四边形的问题转化为三角形问题来解决）
（3）应用：如图，已知∠C=60°，CD=8，梯形中位线EF=6，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行线等分线段定理证明即可；
（2）连接DE并延长交CB的延长线于H，证明△DAE≌△HBE，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可；
（3）作DP⊥BC于P，根据正弦的定义求出DP，根据梯形中位线定理和梯形面积公式计算即可．

解答 解：（1）EF是梯形ABCD的中位线，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$，又点E是AB的中点，
∴点F是CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线；
（2）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
如图1，连接DE并延长交CB的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠HBE，
在△DAE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠HBE}\\{AE=BE}\\{∠AED=∠BEH}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△HBE，
∴AD=BH，DE=EH，又点F是CD的中点，
∴EF是△DHC的中位线，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（AD+BC）；
（3）如图2，作DP⊥BC于P，
sinC=$\frac{DP}{CD}$，
则DP=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）=6，
梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×DP=24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是梯形的中位线定理的推导和应用、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理的应用，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．