题目内容
（2012•江宁区二模）如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为
（2）若二次函数y=
x2-ax-2的图象经过点C．
①求二次函数y=
x2-ax-2的关系式；
②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；
③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）点C的坐标为
（-3，1）
（-3，1）
；（2）若二次函数y=
| 1 |
| 2 |
①求二次函数y=
| 1 |
| 2 |
②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；
③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，然后利用“角角边”证明△ABO和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BO，CD=AO，然后求出OD，再根据点C在第二象限，写出点C坐标即可；
（2）①把点C的坐标代入二次函数解析式求出a的值即可得解；
②把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得到函数值y的取值范围；
③分点A是直角顶点时求出点P的坐标，点B是直角顶点时求出点P的坐标，然后验证是否在二次函数图象上即可．
（2）①把点C的坐标代入二次函数解析式求出a的值即可得解；
②把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得到函数值y的取值范围；
③分点A是直角顶点时求出点P的坐标，点B是直角顶点时求出点P的坐标，然后验证是否在二次函数图象上即可．
解答：解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵旋转角为90°，
∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ABO和△CAD中，
∵
，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=AO+AD=1+2=3，
∴点C的坐标为（-3，1）；
（2）①∵二次函数y=
x2-ax-2的图象经过点C（-3，1），
∴
×（-3）2-（-3）a-2=1，
解得a=-
，
故二次函数的关系式为y=
x2+
x-2；
②∵y=
x2+
x-2=
（x+
）2-
，
∴当-1≤x≤4时，x=-
时取得最小值y=-
，
x=4时，取得最大值y=
（4+
）2-
=8，
所以，函数值y的取值范围为：-
≤y≤8；
③（i） 当A为直角顶点时，延长CA至点P1，使AP1=AC=AB，则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点P1作P1E⊥x轴，
∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90°，
∴△EP1A≌△DCA，
∴AE=AD=2，EP1=CD=1，
∴可求得P1的坐标为（1，-1），
经检验点P1在二次函数的图象上；
（ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2=BP3=AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，
作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO，
则P2F=BO=2，BF=OA=1，
可得点P2的坐标为（2，1），
经检验P2点在二次函数的图象上，
同理可得点P3的坐标为（-2，3），
经检验P3点不在二次函数的图象上．
综上所述：二次函数的图象上存在点P1（1，-1），P2（2，1）两点，使得△ABP1和△ABP2是以AB为直角边的等腰直角三角形．
∵旋转角为90°，
∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ABO和△CAD中，
∵
|
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=AO+AD=1+2=3，
∴点C的坐标为（-3，1）；
（2）①∵二次函数y=
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
解得a=-
| 1 |
| 2 |
故二次函数的关系式为y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②∵y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 8 |
∴当-1≤x≤4时，x=-
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 8 |
x=4时，取得最大值y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 8 |
所以，函数值y的取值范围为：-
| 17 |
| 8 |
③（i） 当A为直角顶点时，延长CA至点P1，使AP1=AC=AB，则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点P1作P1E⊥x轴，
∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90°，
∴△EP1A≌△DCA，
∴AE=AD=2，EP1=CD=1，
∴可求得P1的坐标为（1，-1），
经检验点P1在二次函数的图象上；
（ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2=BP3=AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，
作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO，
则P2F=BO=2，BF=OA=1，
可得点P2的坐标为（2，1），
经检验P2点在二次函数的图象上，
同理可得点P3的坐标为（-2，3），
经检验P3点不在二次函数的图象上．
综上所述：二次函数的图象上存在点P1（1，-1），P2（2，1）两点，使得△ABP1和△ABP2是以AB为直角边的等腰直角三角形．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了旋转变换的旋转，全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的增减性以及等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，但难度不是很大，要注意分情况讨论．
练习册系列答案
相关题目
（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
（2012•江宁区二模）与右图对称性完全相同的图形是（ ）