Question

已知：如图△ABC的三边长分别为a、b、c，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成了一个小三角形．
（1）求这个小三角形的周长．
（2）照上述方法继续做下去，到第n次时，这个小三角形的周长是多少？

Answer 1

分析：（1）根据中位线的性质可以得到这个小三角形与原来的三角形相似，且相似比为

1

2

，根据相似三角形周长的比等于相似比能求出这个小三角形的周长．（2）按照这种方法作出的三角形与原来的三角形相似，相似比为

1

2

，所以第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的

1

2n

．

解答：解：（1）因为这个新三角形的三边分别与原三角形的三边平行，所以新三角形与原三角形相似，根据中位线的性质可知，两三角形的相似比是

1

2

，因此，这个小三角形的周长为

1

4

（a+b+c）；

（2）由于第一个三角形的周长为

1

2

（a+b+c），第二个小三角形的周长为

1

4

（a+b+c）=

1

22

（a+b+c）．
依此类推可得第n个小三角形的周长为

1

2n

（a+b+c）．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据三角形的中位线得到新三角形与原来的三角形相似，并且相似比为

1

2

，利用相似三角形周长的比等于相似比，求出第一个新三角形的周长．（2）根据第二个三角形的周长进行分析，寻找规律，得到第n个三角形的周长．