Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，若AE=6.5，AD=5，则AC=________；△ABE的周长是________．

Answer 1

6.5    25
分析：在Rt△ADB中，点E是BD的中点；根据直角三角形的性质，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C，则AE=AC；根据勾股定理可得AB的长度，最后根据三角形的周长公式来求△ABE的周长．
解答：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴BD=AE=BE=6.5，
∴∠EAB=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C，即∠AEC=∠C，
∴AE=AC=6.5．
在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13
∴AB=12（勾股定理），
∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25．
故答案分别是：6.5；25．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．此题将所求线段AC的长度转化为已知线段AE的长度是难点．