Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．

（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？

（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？

（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 2秒或4秒，(2) 秒或秒；（3）有可能．经过秒，PQ⊥CD．

【解析】试题分析：（1）设PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，依照题意列一元二次方程，解方程.

（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似,对应边成比例，列方程，解方程.

(3)假设垂直，△PCQ∽△BCA,列方程，解方程.

试题解析：

（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，

由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，

则×2x（6﹣x）=××8×6，

解得：x=2或x=4．

故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；

（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．

当△PCQ与△ACB相似时，则有或,

所以或,

解得t=，或t=.

因此，经过秒或.秒，△OCQ与△ACB相似；

（ 3）有可能．

由勾股定理得AB=10．

∵CD为△ACB的中线，

∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，

又PQ⊥CD，

∴∠CPQ=∠B，

∴△PCQ∽△BCA，

∴,,

解得y=.

因此，经过秒，PQ⊥CD．