Question

【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（2，0），B（－2，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求证：ΔABC是半直角三角形；

（2）求证：∠DEC=∠DEA；

（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）先求得∠ADE＝45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE＝∠ADE＝45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；

（2）根据垂直平分线的性质得：AD＝BD，由等角对等边得：∠DAB＝∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，则∠DBA+∠DEA＝180°，可得结论；

（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8﹣r）2+22＝r2，可得⊙M 的半径为，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA＝2∠ABE＝90°，根据勾股定理可得结论．

解：（1）∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝45°，

∵∠ABE＝∠ADE＝45°，

∴△ABC是半直角三角形；

（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，

∴AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA，

∵∠DEB＝∠DAB，

∴∠DBA＝∠DEB，

∵D、B、A、E四点共圆，

∴∠DBA+∠DEA＝180°，

∵∠DEB+∠DEC＝180°，

∴∠DEA＝∠DEC；

（3）①如图1，连接AM，ME，

设⊙M的半径为r，

∵点D的坐标为（0，8），

∴OM＝8﹣r，

由OM2+OA2＝MA2得：（8﹣r）2+22＝r2，

解得r＝，

∴⊙M 的半径为，

∵∠ABE＝45°

∴∠EMA＝2∠ABE＝90°，

∴EA2＝MA2+ME2＝()2+()2，

∴