Question

12．如图，直线l₁过点A（0，3），点D（3，0），直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴交于点C，两直线l₁，l₂相交于点B．
（1）求直线l₁的解析式和点B的坐标；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法先求出直线l₁的解析式为y=-x+3；然后根据两直线相交的问题，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可得到B点坐标；
（2）先求出C点坐标，然后利用S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD进行计算．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
把A（0，3），点D（3，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线l₁的解析式为y=-x+3；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
所以B点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
（2）当y=0时，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，则C（-2，0），
所以S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（3+2）×3-$\frac{1}{2}$×（3+2）×$\frac{5}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．