Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（3，0），顶点G坐标为（0，）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）求过点A的反比例函数解析式；
（2）点P的坐标为______；在矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP的运动过程中，点F运动路径的长为______．

Answer 1

解：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
故△OGA∽△OMN，
∴=，
=，
解得：AG=1，
∴A（1，），
设反比例函数y=，把A（1，）代入，得k=，
即y=；

（2）如图所示：连接OF，作PD⊥DO于点D，
∵A（1，），
∴tan∠GOA===，
∴∠GOA=30°，
∴∠POD=30°，
∵顶点G坐为（0，），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴PO=，
∴PD=×=，DO=，
故点P（-，），
∵tan∠FOE=，
∴∠FOE=30°，
∴∠FON=60°，
∵OF==2，
∴l==π．
故答案为：P（-，），π．
分析：（1）根据相似三角形的判定得出△OGA∽△OMN，再利用相似三角形的性质得出AG的长度，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）利用锐角三角函数关系求出∠GOA=30°，得到∠POD=30°，即可得出PD．DO的长，进而得出P点坐标，利用弧长公式求出点F运动路径的长即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用图形的旋转和矩形的性质，利用图形的旋转变化的性质的得出对应点的坐标是解题关键．