Question

探究题：已知：1-

1

2

=

1

1×2

，

1

2

-

1

3

=

1

2×3

，

1

3

-

1

4

=

1

3×4

…
（1）观察上面式子的规律，请你猜测并写出第五项；
（2）上述的规律用一般的式子可以表示为：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；试证明它的正确性；
（3）请直接用上述的结果计算

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

x(x+1)

（x为正整数）的值．

Answer 1

分析：（1）先总结出通项公式

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；
（2）先通分，再进行分式的加减．
（3）利用上面的规律，将原式分解成分数和的形式，再进行加减即可．

解答：解：（1）∵1-

1

2

=

1

1×2

，

1

2

-

1

3

=

1

2×3

，

1

3

-

1

4

=

1

3×4

…
∴第五项：

1

5

-

1

6

=

1

5×6

；

（2）左边=

1

n

-

1

n+1

，
=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

，
=

n+1-n

n(n+1)

，
=

1

n(n+1)

，
∵左边=右边，
∴

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；

（3）原式=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

x

-

1

x+1

，
=

1

2

-

1

x+1

，
=

x+1-2

2(x+1)

，
=

x-1

2(x+1)

．

点评：本题是一个找规律的题目，考查了分式的加减，找出通项公式是解题的关键．