题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
92
）．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．
分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+
9
2
，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质分别得出P点的坐标；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
解答：解：（1）因为抛物线的顶点为（1，
9
2
），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
9
2
，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）2+
9
2
=4．   
解得：a=-
1
2
．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
1
2
（x-1）2+
9
2
．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
当CD=CP1时，∵点C（0，4），顶点为（1，
9
2
），
∴CD=
42+12
=
17
，DE=4，
∴CP1=
17
，EP1=4，
∴P1的坐标为：（1，8），
当CD=DP2时，P2的坐标为：（1，
17
），
当CP3=DP3时，
设CP3=DP3=y，
∴CE2+EP
 
2
3
=CP
 
2
3
，
∴1+（4-y）2=y2，
解得：y=
17
8
，
∴P3的坐标为：（1，
17
8
），
当CD=CP4时，
P4的坐标为：（1，-
17
），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，
17
），（1，-
17
），（1，8），（1，
17
8
）；

（3）令-
1
2
（x-1）2+
9
2
=0，
解得：x1=-2，x2=4，．
∴抛物线y=-
1
2
（x-1）2+
9
2
与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
MF
CO
=
EB
AB
．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
BE
AB
×CO=
2
3
EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=
2
3
（4-x），
∴S=S△BCE-S△BEF=
1
2
EB•CO-
1
2
EB•MF，
=
1
2
EB（OC-MF）=
1
2
（4-x）[4-
2
3
（4-x）]
=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
=-
1
3
（x-1）2+3．
Qa=-
1
3
＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S最大值=3．   
此时点E的坐标为（1，0）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
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BD
AB
=
5
8
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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