Question

如图，△中，是它的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点。

（1）求证：是的切线；
（2）若，连接，求证：∥；
（3）在（2）的条件下，若，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

（1）连接，则可得，，结合是的平分线，可得∥，再根据即可证得结论；（2）连接，则可得 ，，即可得到，从而证得结论；（3）

试题分析：（1）连接，则可得，，结合是的平分线，可得∥，再根据即可证得结论；
（2）连接，则可得 ，，即可得到，从而证得结论；
（3）由∥，可得S_△= S_△，即可得到S_阴影=，设的半径为，在Rt△中，求得，即可求得结果.
（1）连接

则，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴∥，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，

则 ，，
∴，
∴，
∴∥；
（3）∵∥，
∴S_△= S_△，
∴S_阴影=
设的半径为，在Rt△中，，
∴S_阴影===
点评：解答此类切线的判定的问题，一般是先连接切点和圆心，再证垂直.