Question

【题目】我们知道1+2+3+…+=，则1+2+3+…+10＝ ___________ .

[问题提出] 那么 的结果等于多少呢？

[阅读理解] 在图1所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；......；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n即 n2；这样，该三角形数阵中共有____ 个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为_________________ .

图1

[规律探究] 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n－1行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n）发现每个位置上三个圆圈中的数的和均为______________.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：

3（ ）＝_________________.因此， ＝__________.

图2

[问题解决]

（1）.根据以上规律可得 __________________.

（2）.试计算 ，请写出计算步骤.

Answer 1

【答案】55；；；（）；；；（1）7；（2）2485

【解析】

把n=10代入1+2+3+…+=，即可求出1+2+3+…+10的值；

[阅读理解]：由图1可知，共有1+2+3+…+n=个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为；

[规律探究]：由图2知，每个位置上三个圆圈中的数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（ ）＝每个位置上三个圆圈中的数的和（）×位置的个数，因此， ＝；

[问题解决]：（1）先化简把，然后把n=10代入就算即可；（2）用（）减去（）即可求出结论.

当n=10时，

1+2+3+…+==55；

[阅读理解]：由图1可知，共有1+2+3+…+n=个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为；

[规律探究]：由图2知，每个位置上三个圆圈中的数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（ ）＝，因此， ＝；

[问题解决]：（1）∵，

把n=10代入得，

原式==7；

（2）

=（）-（）

=

=

=2485.