Question

已知如图，△ABC．
（1）如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点；
（2）如图②，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点；
（3）如图③，若P点是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点．
请猜测三种情况下，∠BPC与∠E的数量关系，并选择其中两种情况说明理由．

Answer 1

分析：要说明∠BPC与∠E的数量关系，可以利用测量的方法，测出各个角的度数，即可猜想出结论．利用三角形的内角与外角的性质即可证明．

解答：解：（1）∠BPC+∠E=180°；

（2）∠BPC-∠E=90°；

（3）∠BPC+∠E=90°

证明（1）图①
∵P、E分别是△ABC的内、外角平分线的交点，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠MBC
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠MBC）=90°
同理∠3+∠4=90°
∴∠BPC+∠E=360°-2×90°=180°
证明（2）图②
∵P、E分别是△ABC的内、外角平分线的交点，
∴∠1=

1

2

∠ACB，∠2=

1

2

∠ACH
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ACB+∠ACH）=90°
∴∠BPC=∠E+∠PCE，
即∠BPC-∠E=90°
证明（3）图③
∵P点是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点，
点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点．
∴∠EBP=90°，
∴∠BPC+∠E=90°．

点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．