Question

阅读下列材料：

问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置。已知OB=10，BC=6，

将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标.

小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）

请回答：

（1）如图1，若点E的坐标为，直接写出点A的坐标；

（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；

参考小明的做法，解决以下问题：

（3）将矩形沿直线折叠，求点A的坐标；

（4）将矩形沿直线折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）作图见解析；（3）（3，6）；（4）.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理求解即可.

（2）作AD的垂直平分线交OD于点E，交OB于点F，连接EF，EF即为所求.

（3）过点F作FG⊥DC于点G，通过证明△AEF≌△OEF和△DAE∽△GFAF，根据全等三角形和相似三角形的性质求解.

（4）由于题意中，与k有关的是tan∠AOD，即与Rt△AOD有关，所以我们求解k的取值范围可以转化为求DA的长度的范围.

试题解析：（1）∵根据矩形和折叠的性质，AE=OE=4，DE=2，

∴根据勾股定理，得.

∴.

（2）作图如下：

（3）如图，过点F作FG⊥DC于点G，

∵EF的解析式为，

∴.∴OE=n，OF=2n.

∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=2n.

∵点A在DC上，且∠EAF=900，∴∠1+∠2=900.

又∵∠2+∠3==900，∴∠1=∠2.

∴△DAE∽△GFAF.∴.

又∵FG=CB=6，∴.∴DA=3.

∴点A的坐标为（3，6）.

（4）如图，过点F作FG⊥DC于点G，

∵EF的解析式为，

∴.∴OE=n，OF=.

∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=.

∵点A在DC上，且∠EAF=900，∴∠1+∠2=900.

又∵∠2+∠3==900，∴∠1=∠2.

∴△DAE∽△GFAF.∴.

又∵FG=CB=6，∴.∴DA=.

当DA最小时，点F与点B重合，此时AF=OB=10，BC=6，得AC=8，DA=2，即；

当DA最大时，DA=OD=6，即.

∴.

考点：1.阅读理解型的实践操作题；2.折叠问题；3.矩形的性质；4.勾股定理；5.全相似三角形的判定和性质.