题目内容

已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
依题意，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故所求抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB= $\text{[math]}$ =10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF= $\text{[math]}$ =8，DH= $\text{[math]}$ OF=4，
∴S= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△ABD= $\text{[math]}$ AD•BE= $\text{[math]}$ ×5×8=20．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
S_梯形COAB= $\text{[math]}$ （BC+OA）•OC= $\text{[math]}$ ×（4+10）×8=56，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，
得 $\text{[math]}$ OD•y= $\text{[math]}$ ×56，解得y= $\text{[math]}$ ，
由S_△APD= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=14，得t=7．
此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）²+y²=AP²，即（10-x）²+（ $\text{[math]}$ ）²=7²，
解得x= $\text{[math]}$ ，即在7秒时有点P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）满足题意；
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ AD•y= $\text{[math]}$ ×56，解得y= $\text{[math]}$ ，
此时t=10+4+（8- $\text{[math]}$ ）=16 $\text{[math]}$ ．即在t=16 $\text{[math]}$ 秒时，有点P₂（0， $\text{[math]}$ ）满足题意；
综上，在7秒时有点P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），在16 $\text{[math]}$ 秒时有点P₂（0， $\text{[math]}$ ）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．
分析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三点代入即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式；
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
（3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ OD•y= $\text{[math]}$ ×56故可求出y的值，由S_△APD= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；
（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ AD•y= $\text{[math]}$ ×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8- $\text{[math]}$ ）=16 $\text{[math]}$ ，由此可得出点P₂的坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．